微分と積分、極限はこうしてやってくる
数Ⅲの出題の仕方を学ぼう！
皆さん、数Ⅲはイメージで難しいかどうか考えていませんか？
しかし、数Ⅲはしっかりと出題傾向を掴めば、難しくはありません。
傾向を掴めばどのように勉強すればいいのかもわかります。
今回は僕が独自に作成したこの問題で分析してみましょう。
微分がうまくできないとドミノ形式で失点
(1)と(2)の解説からいきましょう。
(1)はただの計算問題ですが、 (2)でも生かされます。
今回の場合は、増減のみですが、変曲点やグラフの凹凸についても問われることはよくあります。
計算問題だからといって、計算練習を疎かにしてはなりません。
(1)解説
( ,
)
より
(2)
について
>0、
<0より
<0
以上から増減表は以下の通り
極限も問われるなど、多方面の知識が少数の問題で問われる
解説はいったんここでストップします。
今までの計算過程は導関数が影響していることが分かります。
つまりここで計算ミスをすると大失点です。
さらに、ここからは極限も問われていきます。
漸近線はどれなのか、グラフの極限値はどう取るのかなども調べなければなりません。
定義域でない値とは絶対に調べなければなりません。
(2)解説 続き
(複合同順)
(複合同順)
また
<
、
<
の時>0で
<
<
<0
また、<
の時
<0
<
の時
>0
よって、<
の時
<0、
<x<
の時
>0
<x<4 の時
<0
4<の時
>0
したがってグラフの概形は以下の通り
漸近線はx軸、、
概形がうまく描けて初めて積分です
グラフの概形が描けないと、位置関係の把握などができないため、立式もできません。
ただ、うまく立式ができれば積分は計算のみです。
(3)解説
(2)より-1<<0において、
<0
よって求める面積Sは
=
=
=
=
=
まとめ
以上のオリジナル問題から傾向と対策をまとめます。
偏差値50くらいの大学ではこのような出題傾向が極めて顕著です。
このような典型問題くらいはできるようにしておきましょう
まずはこのような実態を把握して、受験勉強に専念しましょう！
数Ⅲってよくわからない解法で萎えませんか？(その3)
数Ⅲはここが難しい！けどここを超えたら世界が変わる！
この回は第1回から続き今回で終わります。
まだ見てない方は下からアクセスできます。
以下は今までの内容のまとめです
- 数Ⅲを履修している時点で尊い
- 数Ⅲは言葉がややこしいし難しい
- 数Ⅲは内容も難しい
慣れない解法だらけ
これは、と置換することで積分計算が楽になります。
の導関数が
であることと、
を利用して上手く約分してるんです。
置換積分で求められる力は「先を見通すこと」です。
これは他の解法でもそうです。
置換積分だけでも、先を見通す力を身につけましょう！
なのでもう一度言います。
計算練習と定期テスト以外はセンターまでやらないでください！
やるのは二次試験対策の時です。
センター試験でしっかりと基礎をつけてから数Ⅲを実践してください !
計算が大変
計算がついていけないと、何をやっているのかよく分からなくなります。
そこで「受かる計算」を徹底してもらいたいです。
特に積分あたりはちゃんと練習してください。
Amazonで買えるようにリンクを貼っておきます。
しっかりと計算して、二次では精神的に余裕を持って解法の理解に徹しましょう。
まとめ
今回のまとめです。今回は量が非常に多いです。
なので一旦まとめた上で断言します。
偏差値50くらいの大学に目指すのなら、定期テスト対策と計算練習だけでいいです。
浪人生はもう少し頑張れと言いますが、現役生に数Ⅲ対策はあまりに酷です。
そして対価が得られるとは限らない。
それよりも1A2Bの基礎固めと並行して数Ⅲ計算練習と定期テスト対策をやれば数Ⅲのハードルはだいぶ下がります。
あなた達はそれだけ覚悟を持って数Ⅲを受験科目に選んだんです。
この覚悟に頭が上がりません。
改めて敬意を称して終わります。
長々とありがとうございました！
数Ⅲってよくわからない解法で萎えませんか？(その２)
数Ⅲはここが難しい！けどここを超えたら世界が変わる！
前回の続きです。まだ見てない方は最初から見ましょう
前回までのまとめはこちら
- 数Ⅲを履修した時点で相当な勇者
- 数Ⅲは言葉がややこしいし難しい
内容がとにかくややこしい
難しいのは言葉だけではありません。
内容もです。
表される関数がある。
と出題されたとします。
解説にはこう書かれるでしょう。
これ結構理解するのにしんどいんじゃないでしょうか。
媒介変数とい言葉も難しいのに、それをどのように活用しているのかも理解しないといけないんです。
今回の場合は、「楕円は二つの変数で表されるんだから、積分ができる変数は一つまで。だから、積分する変数を一つに統一するために媒介変数の概念を用いたんだ。違う2つの変数をうまく一つの変数で表した結果積分ができるようになった」といったニュアンスです。
内容や指針だって結構理解し難いですよね。
予感通りこんなに難しいのです。
でもこんなのは1ヶ月で慣れます。
特に現役生の皆さん、偏差値50程度でいいのなら大学共通入試(またはセンター)が終わるまでの間は定期テスト以上のことはやめておきましょう。
しっかりと数学ⅠAⅡBの基礎を固めておきましょう。
特に三角関数や対数関数、数列、微積(Ⅱ)を固めておきましょう。
その代わり計算練習をしっかり行いましょう。
定期テストに論述を出すと言ったら定期テストの対策をしっかりと行いましょう。
なぜかというと、これを現役生の初学者に理解させるのはあまりに酷だからです。
具体例があまりに難しすぎましたが、難しいことが言いたいんじゃありません。センターを終えるまでに計算と概念だけしっかりと固めておけと言っているだけです。二次対策期間は解法の理解に徹すればいいのです。そうすれば何を計算しているのか自ずとわかるし、解法が理解しやすくなります。
数Ⅲってよくわからない解法で萎えませんか？(その１)
本題に入る前に
皆さん、特に数Ⅲの初学者の皆さん。
本題に入る前にちょっと。
数Ⅲ自分できないって悩んでいませんか？
特に自分はなんて馬鹿だと自虐しているそこのあなた。
待ってください。
悩んだり自虐する前にこちらを見てください。
こちらは平成27年の12月の資料になります。
これを見て分かる通り、数Ⅲ履修している高校生はなんと2割なんです！
そもそも数Ⅲって何？という高校生だっています。
何が言いたいかというと、ここまでやってきた覚悟は本当に凄まじいものです。
履修したときの決意は本物だったともいます。
ていうか、ここにきている時点で、数Ⅲを諦めていないあなた達は今でもその覚悟を持ち続けています。
多くの人たちは、
「数Ⅲはかなり難しそう…」
「高度な言葉が乱立しそう…」
「数ⅡBでも酷い目にあったから…」
とそもそも履修すらしません。
文系に行った人たちを馬鹿にするわけではありませんが、このような数Ⅲのイメージの中で履修しない彼らに比べれば、あなたちの覚悟は本物なんです。
あなたたちは難しい科目を受験教科にして挑んだんです。
まずは自分がいかに尊いかを自覚し、そして自分を褒めましょう。
でもその尊さは受験の壁を突破して初めて他人に評価されるものです。
だから、自虐なんてしないでください。
悩んでるなら僕のブログ一読してください。
数Ⅲはここが難しい！けどここを乗り越えたら世界が変わる！
て事で前置き長くてすみません笑笑
それだけ数Ⅲは難しいんです。
それなのに、覚悟を持って挑戦したみなさんには敬意を称したい気持ちでいっぱいでしたので長いですが、前置きを置かせていた出しました。
それでは本編へ参りたいと思います。
数Ⅲはやはり難しいと言うのですが、何が難しくなるのでしょうか？
言葉がややこしいし難しい
よく、教科書や参考書でこんな表現してませんでしたか？
色々なwebサイトや教科書、参考書はこんな風に難しく言いませんか？
それだけ数Ⅲというのは厳密に理解しなければいけないのです。
もし、難しいのなら、いくつかやり方を教えます。
まず、と出てきたら適当に
でもなんでも代入しちゃってください。
と定められていたら、それに適合した値（ここでは2とか）を代入してください。
そうすると、状況を飲み込みやすく、理解が早く進みます。
関数って来たら
とか、数列
ってきたら
とやってみるという感じです。
今回は序盤ですのでまだまだ話がたくさんあります。よって3回に分けて話します。なので今回はまとめは載せません！皆さん次回も楽しみに待っていてください！
凡ミスを減らす方法一覧です！
センター試験では、問題用紙への書き込みが可能でした。
しかし、その書き込みをうまく使えていない事例が多々あるため、今回はその話をします。
上手い使い方とは？
これが僕の解答用紙の書き込み方です。
ボールペンを使っている理由は、僕の字が薄くて小さいからです。
ここで押さえているポイントを紹介します。
- 自分が何をしたのか、誰が見てもパッとわかる。
- 間違っている箇所の過程が辿りやすくなっている
自分が何をしたのか、把握できるようにきれいに整理されているのが特徴です。
僕は演習の際、これを意識して、徹底して鍛えました。
それはセンター試験から半年経った今でもできるのです。
これがきれいに書くコツです。
- 「=」は揃える
- 適切な空白に書き込む
- 字はきれいに
- 字を書く角度は文字に平行に
- 字の大きさは適切に
「=」を揃えることで、式の並びが美しく見えます。
適切な空白に書き込むことで式があちこちと分散するのを防ぎます。
字をきれいに書くことで凡ミスを防ぎ、見やすくすることができます。
適切な字の角度で字を書くときれいに見えますよね？
適切な字の大きさだと、後で見直すことができます。
要するに案外簡単に意識しようと思えば意識してかけるんです。
しかし大学共通入試は時間に制約があり、落ち着いて試験に挑むのは至難の技。
さらにマークの時間も合算しなければならないのです。
適切な空白を瞬時に見つける能力や書き込み設計も問われるのです。
そのためには演習をしっかりと積まなければなりません。
演習を積むことでこのような練習ができ、自分の癖のデータも把握できるのです。
計算術でも凡ミスを減らそう！
横並べをやめよう
これは先ほど見せた画像ですが、後半を見ると、多項式の筆算をしてますよね。
これはおなじ項同士の計算の見落としを防ぐためです。
横にズラーって並ぶと混乱しやすいですよね？
計算が手間取って、間違いのリスクがあっていいこと何一つありません。
こういうところで、迅速性や正確性を向上させましょう。
暗記する数字は暗記しよう
まず暗記する数字として、2の5乗＝32、2の10乗=1024。
この二つだけは覚えましょう。
そこから２を掛けたり割ったりが、楽になります。
2の9乗=2の10乗/2=1024/2=512
といった感じです。
あとは平方数。
11の2乗=121,12の2乗=144,13の2乗=169,........
16の2乗までは覚えておきましょう。
このようにして暗記することで計算を大幅に減らすことができます。
公式を覚えて計算を減らそう
例えばこのような問題があったとします。
- 問.データ1から30 番目までのデータがる。 10点満点の小テストをした結果、全員の点数の合計は240だった。 この時の平均値を求めよ。
この時、1から30番目まで数を数えませんか？
それをしようとした方は今日でやめましょう。
個数の公式があります。
個数=最後の番号-最初の番号+1
このようにして、計算ミスを防ぎ、時間を稼ぎましょう！
まとめ
ある程度基礎力がついて、演習をして演習に慣れると凡ミスが増えます。
それは必然なので、今のうちからこのような計算方法を徹底して練習する必要があります。
次回以降は数学の単元を用いた頭の使い方を勉強します。
次回以降もよろしくお願いします。
今回はミスを防ぐテクニックをお伝えしました
基礎徹底を疎かにしたら負けです
みなさん、基礎を疎かにして、応用問題ばっかりやっていませんか？
特に何言ってるのかさっぱりわからない場合はその作業をやめることを強く勧めます。
基礎はなめちゃいけない
みなさん基礎って何か分かりますか？
基礎＝簡単だと思っていたら今すぐにその認識を捨ててください！！
基礎というのは、「なくてはならない、そして支える役割をもつもの」です。
家で考えてみましょう。
家の基礎というのは、皆さんの居住部分を支えてますよね？
家の基礎が無ければ、地盤沈下したり、倒壊したりします。
勉強だって一緒です。
小学校レベルの計算ができなければ、中学校の数学だってできません。
中学校の数学は考え方などが重要になっていきます。
中学レベルで問われる思考力に達していないと、高校で習う解法をすんなりと理解する事が出来ません。
中学数学や算数は、この点で高校数学において不可欠で、高校数学を支えていますよね？
このようにして、高校数学の基礎の一つとして、中学校数学や小学校算数が高校数学の基礎になるわけです。
中学の数学を疎かにしてきた、数学の苦手な方はこれをしっかりと行いましょう。
勿論都道府県公立高校入試を満点レベルまで、持っていかなければなりません。
そうでないと、大学入試は満足にやっていけないと考えられます。
さらに、基礎を固めるというのは、単元の内容をしっかりと押さえることも指します。
内容を押さえていないと言うことは、問題を解けないと言うことですから、内容押さえも忘れずに。
二次関数の平方完成が分からなければ、軸や最小値or最大値が分からない。
逆にそれがわかって初めて問題が解けます。
内容を押さえることも、問題を解く上で不可欠で問題を解くことを支えていますよね？
基礎的な思考力があり、内容をしっかりと押さえて始めて問題が解けるのです。
基礎が出来ているか確認するには？
基礎ができているかを確認する基準は以下の通りです
- 記述式問題が出されても論述し、回答できる
- 入試に最低限必要なレベルをマスターできている
- 計算ができる
以上の条件から青チャートを解く貰う必要があります。
何故なら、青チャートは出来て当たり前だからです。
これが出来ないとセンター試験数学6割は無理です。
勿論、大学共通入試はセンター試験よりも難しいので青チャートが出来なければ5割は無理かと思われます。
続いて、基礎が理解できているか確認するには、記述式問題を解くことがうってつけです。
記述式問題を解けると言うのは内容を理解している証です。
仮に問題が解けても、落書きみたいな計算過程から内容が理解できていると言えるのでしょうか？
定義域が確認できている、などチェックをしなければならないからこそ基礎固めは記述式の問題で無ければなりません。
さらには計算問題を解くことも重要です。
大学共通入試は、計算ができなければ内容を理解しても点数にはなりません。
記述式は理解してるとして、加点はされますが計算ミスをしなかった場合に比べて点数が低くなることに変わりはありません。
しっかりと基礎固めをして初めて入試に挑めるのです。
入試の本格的な対策は夏からです。
慌てずに基礎をしっかりと固めましょう。
まとめ
今回のまとめは以下の通りです。
青チャートは確かに分厚いです。
量で嘆くのはまだ理解ができます。
けどあれ如きの内容で嘆くようでは数学を使う入試は突破できません。
それだけ青チャートの内容は入試の基礎の集大成でもあります。
単元分割で解くのもありですから、やらないという選択肢だけはとらないでください。
チャート式数学のamazonリンク貼っておきます。
